GiGaGeo

Ableitung

Die Ableitung \(f'(x_0)\) einer Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen dieser Funktion im Punkt \(P(x_0|f(x_0))\).

Die Ableitungsfunktion \(f'\) zu einer Funktion \(f\) ist die "Funktion der Tangentensteigungen": An jeder Stelle \(x\) hat die Steigung der Tangente an den Graphen von \(f\) einen Wert, der der Ableitung der Funktion \(f'\) entspricht.
Hat der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente, besitzt die Ableitung \(f'\) an dieser Stelle eine Nullstelle.

Beispiel

Differenzenquotient

Der Quotient

\(\frac {f(b) - f(a)} {b-a}\)

heißt Differenzenquotient von \(f\) über dem Intervall \([a;b].\)

Beispiel

Berechnung der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion \(f\) an einer Stelle \(x_0\) lässt sich mit der \(h\)-Schreibweise berechnen: Mit Hilfe des Differenzenquotienten

\(\frac {f(x_0+h) - f(x_0)} h\)

läuft für \(h \to 0\) der Grenzwert des Differenzenquotienten gegen die Ableitung \(f'(x_0)\):

\(\lim\limits_{h \to 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)} h = f'(x_0)\)

Beispiel

\(\begin{array}{ll} f(x) & = 5x^2 + 2x + 3 \\ f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \frac {f(x+h)-f(x)} h \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \frac {5(x+h)^2 + 2(x+h) + 3 - (5x^2 + 2x + 3)} h \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \frac {10xh + 5h^2 +2h} h \\ & = \lim\limits_{h \to 0} (10x + 5h +2) \\ & = 10x + 2 \end{array}\)

Ableitungsregeln

	\(f(x)\)	\(f'(x)\)
Potenzregel	\(f(x)=x^n\) mit \(n \in \mathbb{Q}*\)	\(f'(x)=n \cdot x^{n-1}\)
	Beispiel \(f(x)=x^3\) \(f'(x)=3x^2\)
Summenregel	\(f(x)=u(x)+v(x)\)	\(f'(x)=u'(x)+v'(x)\)
	Beispiel \(f(x)=x^5+2x^2\) \(f'(x)=5x^4+4x\)
Differenzregel	\(f(x)=u(x)-v(x)\)	\(f'(x)=u'(x)-v'(x)\)
	Beispiel \(f(x)=4x^3-5x\) \(f'(x)=12x^2-5\)
Faktorregel	\(f(x)=k \cdot u(x)\) mit \(k \in \mathbb{R}\)	\(f'(x)=k \cdot u'(x)\)
	Beispiel \(f(x)=2x^4\) \(f'(x)=8x^3\)
Kettenregel	\(f(x)=u(v(x))\)	\(f'(x)=v'(x) \cdot u'(v(x))\)
	Beispiel \(f(x)=(x^4-5)^2\) \(f'(x)=8x^3 (x^4-5)\)
Sinusfunktion	\(f(x)=sin(x)\)	\(f'(x)=cos(x)\)
Kosinusfunktion	\(f(x)=cos(x)\)	\(f'(x)=-sin(x)\)

Tangente und Normale

Die Tangente an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P(x_0|f(x_0))\) hat die Gleichung:

\(y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)\)

Die Normale an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P(x_0|f(x_0))\) hat die Gleichung:

\(y=-\frac 1 {f'(x_0)} \cdot (x-x_0)+f(x_0)\) mit \(f'(x_0)\neq 0\)

Die Normale steht orthogonal zur Tangente. Für orthogonale Geraden mit den Steigungen \(m_1\) und \(m_2\) gilt:

\(m_1 \cdot m_2=-1\)

Für den Steigungswinkel \(\alpha\) von \(f\) an der Stelle \(x_0\) zwischen der Tangente und der \(x\)-Achse und für die Steigung \(m\) gilt:

\(m=tan(\alpha) = f'(x_0)\)

Beispiel

\(f(x) = \frac 1 4 x^2\)
\(f'(x) = \frac 1 2 x\)

Tangente an \(f(x)\) in \(P(2|1)\):
\(\begin{array}{ll} y_1 & = \frac 1 2 \cdot 2 \cdot (x-2)+1 \\ & = x-1 \end{array}\)
Steigung der Tangente in \(P(2|1)\): \(m_1 = 1\)
Normale an \(f(x)\) in \(P(2|1)\):
\(\begin{array}{ll} y_2 & = - \frac 1 {\frac 1 2 \cdot 2} \cdot (x-2) + 1 \\ & = -x + 3 \end{array}\)
Steigung der Normale in \(P(2|1)\): \(m_2 = -1\)
Tangente \(y_1\) und Normale \(y_2\) sind orthogonal, da \(m_1 \cdot m_2 = 1 \cdot (-1) = -1\)

Stichworte

Ableitung, Ableitungsfunktion, Differenzenquotient, h-Schreibweise, Ableitungsregeln, Potenzregel, Summenregel, Differenzregel, Faktorregel, Kettenregel, Tangente, Normale, Steigung, Steigungswinkel

	Ähnlichkeit
	Maßstab Mit einem Maßstab werden Vergrößerungen, z.B. 8:1, oder Verkleinerungen, z.B. 1:400000 angegeben. Beispiel
	Ähnlichkeit von Vielecken Wenn zwei Vielecke \(G\) und \(H\) in ihrer Form übereinstimmen, heißen sie ähnlich zueinander. Man schreibt dafür: \(G \sim H\) ("\(G\) ist ähnlich zu \(H\)") Für ähnliche Vielecke gilt: Ihre sich entsprechenden Winkel sind gleich groß. Sie stimmen in den Verhältnissen der entsprechenden Seiten überein. Der Vergrößerungs- bzw. Verkleinerungsfaktor heißt Ähnlichkeitsfaktor. Bei ähnlichen Vielecken stimmt das Längenverhältnis sich entsprechender Seiten \(a\) und \(a'\) überein. Eine Gleichung \(a : a' = b : b'\) ("\(a\) verhält sich zu \(a'\) wie \(b\) zu \(b'\)") heißt Proportion. Beispiel
	Sind zwei Vielecke \(G\) und \(H\) ähnlich zueinander mit dem Ähnlichkeitsfaktor \(k\), dann gilt für ihre Flächeninhalte \(A(G)\) und \(A(H)\): \(A(G) = k^2 \cdot A(H)\) Beispiel
	Ähnlichkeitssatz für Dreiecke Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in der Größe von zwei Winkeln übereinstimmen.
	1.Strahlensatz Werden zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Anfangspunkt \(S\) von zwei parallelen Geraden \(g\) und \(h\) geschnitten, so verhalten sich die Längen von je zwei Abschnitten auf dem einen Strahl wie die Längen der entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl. 2.Strahlensatz Werden zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Anfangspunkt \(S\) von zwei parallelen Geraden \(g\) und \(h\) geschnitten, so verhalten sich die Längen der Abschnitte auf \(g\) und \(h\) wie die vom Anfangspunkt aus gemessenen Längen der entsprechenden Abschnitte auf jedem der Strahlen. Beispiel
	Zentrische Streckung Eine zentrische Streckung bildet alle Strecken von einem Streckzentrum \(Z\) aus um einen Streckfaktor \(k\) vergrößert oder verkleinert ab. Dabei gilt: Strecke \(\bar{ZP}\) und Bildstrecke \(\bar{ZP'}\) sind parallel. Die Bildstrecke \(\bar{ZP'}\) ist \(k\)-mal so lang wie die Originalstrecke \(\bar{ZP}\). Ein Vieleck \(PQR\) ist zu seinem Bildvieleck \(P'Q'R'\) ähnlich. Beispiel
	Stichworte Ähnlichkeit, ähnlich, Maßstab, Ähnlichkeitsfaktor, Proportion, Ähnlichkeitssatz, Strahlensatz, zentrisch, Streckung, Streckzentrum, Streckfaktor

Bruchrechnung

Brüche

Brüche sind Anteile vom Ganzen.

Der Nenner eines Bruches gibt an, aus wie vielen gleich großen Teilen das Ganze besteht. Der Zähler bestimmt, wie viele dieser Teile genommen werden.

Den Quotienten zweier natürlicher Zahlen kann man auch als Bruch schreiben.

Beispiel

Darstellung von Brüchen:

Echter Bruch: Der Zähler ist kleiner als der Nenner.
Unechter Bruch: Der Zähler ist größer als der Nenner oder gleich dem Nenner.
Gemischte Schreibweise: Weitere Darstellung unechter Brüche, die aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch besteht.

Beispiele

Echter Bruch: \(\frac 5 6\)
Unechter Bruch: \(\frac 5 4 = 1 \frac 1 4\) : gemischte Schreibweise

Erweitern/Kürzen

Beim Erweitern eines Bruches werden Zähler \(a\) und Nenner \(b\) jeweils mit dem selben Faktor \(c\) multipliziert werden:

\(\frac a b = \frac {a \cdot c} {b \cdot c} \text{ mit } b,c \ne 0\)

Dabei bleibt der Wert des Bruches gleich.

Die Erweiterung eines Bruches bedeutet eine Verfeinerung der Einteilung.

Beispiel

\(\frac 3 4 = \frac {3 \cdot 5} {4 \cdot 5} = \frac {15} {20}\)

Beim Kürzen eines Bruches werden Zähler \(a\) und Nenner \(b\) jeweils durch dieselbe Zahl \(c\) dividiert:

\(\frac a b = \frac {a / c} {b / c} \text{ mit } b,c \ne 0\)

Dabei bleibt der Wert des Bruches gleich.

Die Kürzung eines Bruches bedeutet eine Vergröberung der Einteilung.

Beispiel

\(\frac {6} {30} = \frac {6 / 6} {30 / 6} = \frac {1} {5}\)

Vergleichen von Brüchen

Zum Vergleichen von Brüchen werden sie auf den gleichen Nenner erweitert und dann ihre Zähler verglichen.

Beispiel

\(\frac {1} {2} , \frac {3} {5} , \frac {3} {4} , \frac {5} {8}\)
\(\frac {1} {2} = \frac {20} {40} \lt \frac {3} {5} = \frac {24} {40} \lt \frac {5} {8} = \frac {25} {40} \lt \frac {3} {4} = \frac {30} {40}\)

Rechnen mit Brüchen

Zur Addition zweier Brüche werden diese so erweitert/gekürzt, dass sie den gleichen Nenner haben und dann die Zähler addiert.

Beispiel

\(\frac 1 2 + \frac 3 4 = \frac 2 4 + \frac 3 4 = \frac {2+3} 4 = \frac 5 4\)

Zur Subtraktion zweier Brüche werden diese so erweitert/gekürzt, dass sie den gleichen Nenner haben und dann ihre Zähler subtrahiert.

Beispiel

\(\frac 7 8 - \frac 1 7 = \frac {49} {56} - \frac {8} {56} = \frac {49-8} {56} = \frac {41} {56}\)

Zur Multiplikation zweier Brüche multipliziert man jeweils die Zähler und die Nenner miteinander. Zur Vereinfachung kann häufig vorher gekürzt werden.

Beispiel

\(\frac 3 8 \cdot \frac 2 5 = \frac {3 \cdot 2} {8 \cdot 5} = \frac {3 \cdot 1} {4 \cdot 5} =\frac 3 {20}\)

Bei der Division zweier Brüche multipliziert man den ersten Bruch mit dem Kehrwert. Den Kehrwert eines Bruches erhält man durch Vertauschen von Zähler und Nenner.

Beispiel

\(\frac 3 8 : \frac 2 5 = \frac 3 8 \cdot \frac 5 2 = \frac {3 \cdot 5} {8 \cdot 2} = \frac {15} {16}\)

Ein Doppelbruch entsteht aus dem Quotienten zweier Brüche. Der Bruch im Zähler wird mit dem Kehrwert des Bruches im Nenner multipliziert.

Beispiel

\(\frac {\frac 1 2} {\frac 2 5} = \frac 1 2 \cdot \frac 5 2 = \frac {1 \cdot 5} {2 \cdot 2} = \frac {5} {4}\)

Zur Vervielfachung eines Bruches mit einer natürlichen Zahl wird nur der Zähler des Bruches mit der natürlichen Zahl multipliziert.

Beispiel

\(\frac 7 9 \cdot 5 = \frac {7 \cdot 5} 9 = \frac {35} 9\)

Beim Teilen eines Bruches durch eine natürliche Zahl wird nur der Nenner des Bruches mit der naürlichen Zahl multipliziert.

Beispiel

\(\frac 7 9 : 5 = \frac 7 {9 \cdot 5} = \frac 7 {45} \)

Dezimalbrüche

Brüche können in Dezimalbruchschreibweise dargestellt werden, die in der Stellenwerttafel deutlich wird. Das Komma teilt die Ganzen von den Teilen des Ganzen.

Beispiel

231,54 in der Stellenwerttafel:

Hunderter Zehner Einer , Zehntel Hundertstel

2 3 1 , 5 4

Brüche -> Dezimalbrüche

Brüche können in Dezimalbrüche umgeformt werden, wenn man sie auf Zehntel, Hundertstel, ... erweitert oder kürzt. Der Dezimalbruch ist die Zahl im Zähler, in der das Komma soviele Stellen von hinten aus gesetzt wird, wie es Nullen im Nenner gibt. Die Umformung in einen Dezimalbruch ist nicht immer möglich.

Beispiel

\(\frac 1 4 = \frac {25} {100} = 0,25\)
\(\frac 1 3 \) ist nicht auf Zehntel, Hundertstel, ... erweiterbar!

Runden

Beim Runden auf Einer werden die Zehntel betrachtet, beim Runden auf Zehntel die Hundertstel, beim Runden auf Hundertstel die Tausendstel, ... Dabei gilt:

Abrunden bei 0, 1, 2, 3, 4.
Aufrunden bei 5, 6, 7, 8, 9.

Beispiel

35,5637
Auf Einer runden: 36
Auf Zehntel runden: 35,6
Auf Hundertstel runden: 35,56
Auf Tausendstel runden: 35,564

Rechnen mit Dezimalbrüchen

Dezimalbrüche werden stellenweise addiert und subtrahiert. Dabei werden die Kommas jeweils untereinander geschrieben.

Beispiel

Bei der Multiplikation von Dezimalbrüchen werden die Zahlen erst ohne Kommas multipliziert. Im Ergebnis werden dann so viele Ziffern von rechts durch ein Komma abgetrennt wie die beiden Faktoren zusammen nach dem Komma haben.

Beispiel

Division:

Bei der Division durch eine natürliche Zahl wird erst stellenweise dividiert. Beim Überschreiten des Kommas wird auch auch im Ergebnis das Komma gesetzt.
Bei der Division durch einen Dezimalbruch wird bei beiden Zahlen das Komma um die gleiche Anzahl von Stellen nach rechts verschoben, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist und dann dividiert.

Beispiele

Endliche und unendliche Dezimalbrüche

Bei den Dezimalbrüchen unterscheidet man unter

abbrechenden Dezimalbrüche: Bei der Division zweier Zahlen erhält man den Rest 0.
nichtabbrechenden Dezimalbrüche: Bei der Division zweier Zahlen kommt es nicht zum Rest 0. Wiederholt sich eine Folge von Resten, erhält man einen periodischen Dezimalbruch. Die sich wiederholende Ziffer oder Ziffernfolge heißt Periode.

Beispiel

Abbrechende Dezimalbrüche:
2,345; -25,23978; 2948,0008
Nichtabbrechende Dezimalbrüche:
34,73829561...; -0,00958372...
Periodische Dezimalbrüche:
0,66666... Periode: 6
13,758758758... Periode: 758
-2,579999... Periode: 9

Stichworte

Bruch, Nenner, Zähler, echter Bruch, unechter Bruch, erweitern, kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Kehrwert, Doppelbruch, Dezimalbruch, Stellenwerttafel, Runden, abrunden, aufrunden, abbrechender Dezimalbruch, nichtabbrechender Dezimalbruch, periodisch, Periode

	Einheiten
	Bei Angaben mit Komma bezeichnet die Einheit die Stellen vor dem Komma, die Stellen nach den Komma geben die kleinere Einheit an.
	Längen Längen werden üblicherweise in den Einheiten \(1 mm\) (Millimeter), \(1cm\) (Zentimeter), \(1dm\) (Dezimeter), \(1m\) (Meter) und \(1km\) (Kilometer) angegeben. Es gilt: \(1 km = 1000 m \) \(1 m = 10 dm \) \(1 dm = 10 cm \) \(1 cm = 10 mm \) Beispiel \(5,375254 km = 5375,254 m = 537525,4 cm\) \(429 mm = 42,9 cm = 4,29 dm = 0,429 m\)
	Gewichte Gewichte werden üblicherweise in den Einheiten \(1mg\) (Milligramm), \(1g\) (Gramm), \(1kg\) (Kilogramm), \(1t\) (Tonne) angegeben. Es gilt: \( 1 t = 1000 kg \) \(1 kg = 1000 g \) \(1 g = 1000 mg \) Beispiel \(3722245 mg = 3722,245g = 3,722245 kg\) \(3,457 t = 3457 kg = 3457000 g\)
	Zeitpunkte und Zeitspannen Zeitpunkte und Zeitspannen werden in den Einheiten \(1s\) (Sekunde), \(1min\) (Minute), \(1h\) (Stunde), \(1d\) (Tag) angegeben. Es gilt: \( 1 d = 24 h \) \(1 h = 60 min \) \(1 min = 60 s \) Beispiel \(1,5 h = 90 min = 5400 s\) \(2,25 d = 54 h = 3240 min\)
	Flächeninhalt Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche und wird in den Einheiten \(1mm^2\) (Quadratmillimeter), \(1cm^2\) (Quadratzentimeter), \(1 dm^2\) (Quadratdezimeter), \(1 m^2\) (Quadratmeter), \(1 a\) (A), \(1 ha\) (Hektar), \(1 km^2\) (Quadratkilometer) angegeben. Es gilt: \( 1 km^2 = 100 ha \) \(1 ha = 100 a \) \(1 a = 100 m^2 \) \(1 m^2 = 100 dm^2 \) \(1 dm^2 = 100 cm^2 \) \(1 cm^2 = 100 mm^2 \) Beispiel \(0,05 m^2 = 5 dm^2\) \(2,3 km^2 = 230 ha = 23000 a\)
	Volumen Das Volumen eines Körpers gibt seinen Rauminhalt an und wird in den Einheiten \(1mm^3\) (Kubikmillimeter), \(1cm^3\) (Kubikzentimeter), \(1 dm^3\) (Kubikdezimeter), \(1 m^3\) (Kubikmeter), \(1m^3\) (Milliliter), \(1l\) (Liter), \(1hl\) (Hektoliter) angegeben. Es gilt: \( 1 m^3 = 1000 dm^3 \) \(1 dm^3 = 1000 cm^3 \) \(1 cm^3 = 1000 mm^3 \) \(1 ml = 1 cm^3\) \(1 l = 1 dm^3\) \(1 hl = 100l = 100 dm^3\) Beispiel \(43 l = 43 dm^3 = 0,43 hl\) \(13 cm^3 = 0.013 mm^3 = 13 ml\)
	Stichworte Einheiten, Länge, Kilometer, Meter, Dezimeter, Zentimeter, Millimeter, Gewicht, Tonne, Kilogramm, Gramm, Milligramm, Zeitpunkt, Zeit, Zeitspanne, Tag, Stunde, Minute, Sekunde, Flächeninhalt, Quadratkilometer, Hektar, A, Quadratmeter, Quadratdezimeter, Quadratzentimeter, Quadratmillimeter, Volumen, Kubikmeter, Kubikdezimeter, Kubikzentimeter, Kubikmillimeter, Liter, Milliliter, Hektoliter

	Folgen
	Folgen Eine Folge \((a_n)\) ist eine Aufzählung von Zahlen bestehend aus den Gliedern der Folge \(a_1, a_2, a_3, ...\). Rekursive Darstellung der Folge: Ein Folgenglied wird aus einem vorhergehenden Glied berechnet. Außerdem muss das Anfangsglied der Folge angegeben werden. Explizite Darstellung der Folge: Das \(n\)-te Glied der Folge wird durch eine Formel bestimmt. Folgen lassen sich auch grafisch darstellen. Beispiel Folge: \(\frac 1 2, 1, \frac 3 2, 2, \frac 5 2, 3, \frac 7 2, ...\) Rekursive Darstellung: \(a_1 = \frac 1 2\), \(a_n = a_{n-1} + \frac 1 2\) Explizite Darstellung: \(a_n = \frac 1 2 \cdot n\) Grafische Darstellung:
	Grenzwert einer Folge Eine Zahl \(g\) heißt Grenzwert einer Folge \((a_n)\), wenn es zu jedem beliebig kleinen Abstand \(\epsilon\) eine Stelle \(n_0\) in der Folge gibt, ab der alle weiteren Folgenglieder um höchstens \(\epsilon\) von \(g\) unterscheiden: \(\|a_n - g\| < \epsilon \) für alle \(n \geq n_0\) Es gilt dann: \(\lim\limits_{n \to \infty} (a_n) = g \text{ oder } (a_n) \to g \text{ für } n \to \infty\) Beispiel Für die Folge \((a_n) = \frac 1 n\) gilt: \(\lim\limits_{n \to \infty} \frac 1 n = 0\) und \(\lim\limits_{n \to -\infty} \frac 1 n = 0\)
	Fibonacci-Zahlenfolge Die Fibonacci-Folge ist die unendliche Folge natürlicher Zahlen, bei der jede Zahl die Summe der beiden ihr vorangehenden Zahlen ist: \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\) mit \(a_1 = 1, a_2 = 1\) Daraus ergibt sich die Folge: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... Beispiel Grafische Darstellunng der Fibonacci-Folge: Die Zahlen werden als Seitenlänge von Quadraten dargestellt. Zeichnet man die Verbindung als Kurve, so erhält man eine Spirale, die in der Natur häufig vorkommt: Schnecken, Wirbelstürmen, Blumen, Galaxien.
	Stichworte Folge, rekursiv, explizit, Grenzwert, Fibonacci

	Grundrechenarten
	Addition Summand plus Summand gleich Summe Beispiel \(13 + 14 = 27\)
	Subtraktion Minuend minus Subtrahend gleich Differenz Addition und Subtraktion sind entgegengesetzte Rechenarten. Beispiel \(45 - 25 = 20\)
	Multiplikation Faktor mal Faktor gleich Produkt Für alle Zahlen \(a\) gilt: \(0 \cdot a = 0\) und \(1 \cdot a = a\). Beispiel \(25 \cdot 4 = 100\)
	Division Dividend geteilt durch Divisor gleich Quotient Durch 0 kann man nicht dividieren. Multiplikation und Division sind entgegengesetzte Rechenarten. Beispiel \(35 : 7 = 5\)
	Stichworte Addition, Summand, Summe, Subtraktion, Minuend, Subtrahend, Differenz, Multiplikation, Faktor, Produkt, Division, Dividend, Divisor, Quotient

	Kurvendiskussion
	Ganzrationale Funktion Eine Funktion \(f\) mit \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0\) mit \(n \in \mathbb{N}, a_0, a_1, ...,a_n \in \mathbb{R}\) und \(a_n \neq 0\) heißt ganzrationale Funktion mit ihren Koeffizieten \(a_0, a_1, ..., a_n \in \mathbb{R}\). Der höchste Exponent \(n\) von \(x\) heißt Grad der ganzrationalen Funktion. \(a_nx^n\) entscheidet über den Verlauf der Funktion für \(x \to \infty\) bzw. \(\to -\infty\) fest. Beispiel Typische Kurvenverläufe:
	Symmetrieeigenschaft Der Graph einer Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wenn \(f(-x) = f(x)\) gilt. Der Graph einer Funktion \(f\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn \(f(-x) = -f(x)\) gilt. Beispiel
	Nullstellen Die Nullstellen \(x_1, x_2, ..., x_{n-1}, x_n\) einer ganzrationalen Funktion \(f\) lassen sich ablesen, wenn der Funktionsterm als Kombination von Linearfaktoren vorliegt: \(f = (x - x_n)\cdot (x - x_{n-1}) \cdot ... \cdot (x - x_2) \cdot (x - x_1)\) Kommt im Funktionsterm von \(f\) ein Linearfaktor \((x-x_i)\) doppelt oder dreifach vor, so liegt eine doppelte bzw. dreifache Nullstelle \(x_i\) vor. Eine ganzrationale Funktion \(f\) vom Grad \(n\) hat höchstens \(n\) Nullstellen. Eine Funktion mit ungeradem Grad besitzt \(f\) mindestens eine Nullstelle. Beispiel
	Monotonie Gegeben ist eine in einem Intervall \(I\) definierte Funktion \(f\). Gilt für alle \(x\) in \(I\) \(f'(x) > 0\), so ist \(f\) streng monoton steigend. Gilt für alle \(x\) in \(I\) \(f'(x) \lt 0\), so ist \(f\) streng monoton fallend. Beispiel
	Extrempunkte Der Wechsel der strengen Monotonie einer Funktion erfolgt in den Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) des Funktionsgraphen. Für jede Extremstelle \(x_e\) gilt \(f'(x_e) = 0\) (notwendiges Kriterium) und \(f''(x_e) \lt 0\) (hinreichendes Kriterium für einen Hochpunkt) bzw. \(f''(x_e) \gt 0\) (hinreichendes Kriterium für einen Tiefpunkt) Als hinreichendes Kriterium gilt auch der Vorzeichenwechsel an den Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\): Wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_e\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\), so hat \(f\) an der Stelle \(x_e\) einen Hochpunkt. Wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_e\) das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\), so hat \(f\) an der Stelle \(x_e\) einen Tiefpunkt. Beispiel
	Kurvenverlauf Gegeben sind eine Funktion \(f\) und ihre zweite Ableitung \(f''\) im Intervall \(I\). Ist \(f''(x) > 0\) für alle \(x \in I\), so bildet der Graph von \(f\) im Intervall \(I\) eine Linkskurve. Ist \(f''(x) \lt 0\) für alle \(x \in I\), so bildet der Graph von \(f\) im Intervall \(I\) eine Rechtskurve. Beispiel
	Wendepunkte In einem Wendepunkt wechselt der Graph einer Funktion von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Für jede Wendestelle \(x_w\) gilt \(f''(x_w) = 0\) (notwendiges Kriterium) und \(f'''(x_w) \ne 0\) (hinreichendes Kriterium) Als hinreichendes Kriterium gilt auch der Vorzeichenwechsel an den Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f''\). Beispiel
	Sattelpunkte Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente mit den Bedingungen \(f''(x_w) = 0\) und \(f'''(x_w) \ne 0\) für einen Wendepunkt und zusätzlich \(f'(x) = 0\) für die waagerechte Tangente. Beispiel
	Funktionsübergang Verbindung zweier Funktionsgraphen \(g\) und \(f\): sprungfreier Übergang an der Stelle \(x_a\): \(g(x_a) = f(x_a)\) knickfreier Übergang an der Stelle \(x_a\): \(g'(x_a) = f'(x_a)\) zusätzlich krümmungsruckfreier Übergang an der Stelle \(x_a\): \(g''(x_a) = f''(x_a)\) Beispiele Die Übergangsstellen betreffen abschnittsweise definierte Funktionen - Funktionen, die sich aus Teilfunktionen zusammensetzen. Beispiel Abschnittsweise definierte Funktion: \(f (x) = \left\{ \begin{array}{ll} 5x^2 & x \geq 0 \\ 3x & x \lt 0 \\ \end{array} \right.\)
	Stetigkeit Eine Funktion \(f\) heißt stetig an der Stelle \(x_0\), wenn sie in \(x_0\) definiert ist und sich die Funktionswerte von \(f\) von links und von rechts demselben Grenzwert \(f(x_0)\) nähern: \( \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \) Der Graph der Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x_0\) sprungfrei.
	Differenzierbarkeit Eine Funktion \(f\) heißt differenzierbar an der Stelle \(x_0\), wenn sich die Werte des Differenzenquotienten \(\frac {f(x) - f(x_0)} {x-x_0}\) für \(x \to x_0\) von links und von rechts demselben Grenzwert \(f'(x_0)\) annähern: \(\lim\limits_{x \to x_0} \frac {f(x) - f(x_0)} {x-x_0} = f'(x_0)\) Der Graph der Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x_0\) knickfrei.
	Stichworte Ganzrationale Funktion, Koeffizient, Grad, achsensymmetrisch, punktsymmetrisch, Nullstelle, Linearfaktor, Monotonie, Extrempunkt, Hochpunkt, Tiefpunkt, hinreichend, notwendig, Linkskurve, Rechtskurve, Wendepunkt, Sattelpunkt, sprungfrei, knickfrei, krümmungsruckfrei, abschnittsweise, stetig, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, differenzierbar

	Lineare Funktion
	Lineare Funktion Eine Funktion \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x) = m \cdot x + b\) heißt lineare Funktion. \(m\) heißt Steigung (Änderungsrate) der linearen Funktion. \(b\) nennt man den \(y\)-Achsenabschnitt. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
	Nullstelle einer Geraden Nullstelle heißt die Stelle \(x_0\) der Funktion, an der eine Funktion \(f\) den Wert 0 annimmt. Es gilt: \(f(x_0) = 0\) Grafisch schneidet die Gerade die \(x\)-Achse an der Stelle \(x_0\). Beispiel Nullstelle von \(f(x) = 3x+5\): \(f(x_0) = 3x_0 + 5 = 0\) \(3x_0 = -5\) Nullstelle: \(x_0 = - \frac 5 3\)
	Steigung einer Geraden Die Steigung \(m\) der Geraden, die durch die Punkte \(P_1(x_1\|y_1)\) und \(P_2(x_2\|y_2)\) geht, berechnet man mit \(m= \frac {y_2-y_1} {x_2 -x_1}\)
	Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts Den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) berechnet man durch Einsetzen der Koordinaten von \(P_1\) oder \(P_2\) in die Gleichung \(y = mx + b\) und anschließenden Umformen der Gleichung nach \(b\). Beispiel Gegeben sind \(P_1(2\|2)\) und \(P_2(3\|5)\). Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitt \(b\): \(y = mx + b = \frac {5-2} {3-2} x + b = 3x + b\) Einsetzen von \(P_1\) in \(y = 3x + b\): \( 2 = 3 \cdot 2 + b = 6 + b\) \(b = 2 -6 = -4\) Gerade: \(y = 3x -4\)
	Sichworte linear, Steigung, y-Achsenabschnitt, Gerade, Nullstelle

	Linien
	Linien Das, was man in einem Zuge zeichnen kann, ohne dabei anzusetzen oder ein Stück zweimal zu durchlaufen, heißt Linie. Beispiel
	Strecken Gerade Linien mit zwei Endpunkten A und B heißen Strecken. Man schreibt kurz: \(\bar{AB}\) oder \(\bar{BA}\). Für die Länge der Strecke \(\bar{AB}\) schreibt man \(\|AB\|\). Beispiel
	Strahlen Gerade Linien mit einem Endpunkt heißen Strahlen oder Halbgeraden. Beispiel
	Geraden Gerade Linien ohne Anfangs- und Endpunkte heißen Geraden. Die Gerade durch die Punkte \(A\) und \(B\) wird mit \(AB\) bzw. \(BA\) oder einem Kleinbuchstaben bezeichnet. Zwei sich schneidende Geraden haben einen Punkt, den Schnittpunkt \(S\), gemeinsam. Schneiden sich die Geraden \(g\) und \(h\) orthogonal, schreibt man: \(g \perp h\). Beispiel
	Stichworte Linie, Strecke, Länge, Strahl, Halbgerade, Gerade, Schnittpunkt

	NURBS
	Was sind NURBS? NURBS (non-uniform rational B-Splines) sind mathematisch definierte Kurven oder Flächen, die zur Modellierung beliebig komplexer Formen verwendet werden. NURBS liefern eine präzise mathematische Form zur Repräsentation aller gängiger Kurven und Flächen.
	Eigenschaften NURBS bieten eine präzise mathematische Darstellung von analytischen Formen und Freiformflächen. Geringer Speicherbedarf NURBS sind in industriellen Standardformaten enthalten. Eigenschaften
	NURBS-Kurve Eine NURBS-Kurve \(C(u)\) ist definiert durch den Grad \(p\), die mit \(w_i\) gewichteten \(n+1\) Kontrollpunkte \(P_i\) und einen Knotenvektor \(U\): \( C(u) = \frac {\sum _{i=0}^{n} N_{i,p}(u) w_i P_i} {\sum _{i=0}^{n} N_{i,p}(u) w_i} \) Basis-B-Splines \(N\) \( N_{i,0}(u) = \left\{ \begin{matrix} 1 \text{ für } u_i \le u \lt u_{i+1}\\ 0 \text{ sonst } \end{matrix} \right.\) \(N_{i,p}(u) = \frac {u-u_i} {u_{i+p}-u_i} N_{i,p-1}(u) + \frac {u_{i+p+1}-u} {u_{i+p+1}-u_{i+1}} N_{i+1,p-1}(u)\) Basis-B-Splines Knotenvektor \(U\) (bei \(m+1\) Stützpunkten) \( U = \{\underbrace {0,\ldots ,0} _{p+1},u_{p+1},\ldots ,u_{m-p-1},\underbrace {1,\ldots ,1} _{p+1}\} \) Man unterscheidet äquidistante, chordal und zentripedale Parametrisierung des Knotenvektors.
	NURBS zum Ausprobieren Hilfe Hilfe: Durch Klicken auf das Grafikfenster skizziert man Stüzpunkte (), die mit einer NURBS-Kurve angenährt werden soll. Der Klick auf A berechnet die NURBS-Kurve. Das Polygon mit seinen Kontrollpunkten zieht diese NURBS-Kurve auf. Die Anzahl der Kontrollpunkte (standardmäßig 5 Kontrollpunkte) lässt sich mit anschließendem Klick auf A ändern. Statt selbst eine Figur zu erstellen, kann man ein Beispiel (, ) auswählen und approximieren lassen. löscht das Grafikfenster. Mit wählt man Kontrollpunkte aus, um sie zu verschieben. Dazu klickt man auf einen Kontrollpunkt und zieht ihn an eine andere Stelle. Die NURBS-Kurve verändert ihren Verlauf nach Loslassen des Mausbuttons. Vorgegebene Parameter: Eckpunktinterpolation, Gewichte, Anzahl der B-Spline-Kurvenpunkte, äquidistanter Knotenvektor, Gradzahl der B-Spline-Kurve. Variable Parameter: Anzahl der Kontrollpunkte, Ort und Anzahl der Stützpunkte.
	Literatur Les Piegl, Wayne Tiller: The NURBS Book. Monographs in Visual Communication. Springer, 2000.
	Stichworte NURBS, B-Spline, Knotenvektor, Kontrollpunkt, Parametrisierung

	Potenz/Wurzel
	Potenz Für beliebige \(a\) und natürliche \(n>1\) gilt: \(a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot … \cdot a}_{\text{n Faktoren}}\) \(a^0 = 1 \text{ } (a \neq 0)\) \(a^1 = a\) \(a^n\) heißt \(n\)-te Potenz von \(a\), \(a\) Basis und \(n\) Exponent der Potenz. Beispiel \(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\)
	Potenzgesetze Für alle reellen Basen \(a, b\) und natürlichen Exponenten \(n, m\) gilt: \(a^m \cdot a^n = a^{(m+n)}\) \(\frac {a^m} {a^n} = a^{m-n} \text{ für } a \neq 0\) \(a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n\) \(\frac {a^n} {b^n} = (\frac a b)^n \text{ für } b \neq 0\) \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) Beispiel \(3^2 \cdot 3^3 = 9 \cdot 27 = 243 = 3^{(2+3)} = 3^5 = 243\) \(\frac {2^5} {2^2} = \frac {32} 4 = 8 = 2^{5-2} = 2^3 = 8\) \(5^2 \cdot 3^2 = 25 \cdot 9 = 225 = (5 \cdot 3)^2 = 15^2 = 225\) \(\frac {6^4} {3^4} = \frac {1296} {81} = 16 = (\frac 6 3)^4 = 2^4 = 16\) \((4^2)^3 = 16^3 = 4096 = 4^{2 \cdot 3} = 4^6 = 4096\)
	Quadratwurzel Die Quadratwurzel aus einer nichtnegativen Zahl \(a\) \(\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\) ist diejenige nichtnegative Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl \(a\) ergibt. Für alle Zahlen \(a\) gilt: \(\sqrt{a^2} = \|a\|\) Für alle nichtnegativen Zahlen \(a\) gilt: \(\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2 = a\) Beispiel \(a = 9 = 3 \cdot 3\) \(\sqrt{9} = 3\)
	Quadratwurzelgesetze Für alle nichtnegativen Zahlen \(a\) und \(b\) gilt: \(\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt {a \cdot b}\) \(\frac {\sqrt a} {\sqrt b} = \sqrt {\frac a b} \text{ mit } b \neq 0\) Beispiel \(\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6\) \(\frac {\sqrt {81}} {\sqrt 9} = \sqrt{\frac {81} 9} = \sqrt{9} = 3\)
	Teilweises Wurzelziehen Für alle Zahlen \(a\) und \(b\) gilt: \(\sqrt{a^2b} = \|a\| \cdot \sqrt b\) \(\sqrt \frac a {b^2} = \frac {\sqrt a} {\|b\|}\) mit \(b \neq 0\) \(\sqrt \frac {a^2} {b} = \frac{\|a\|} {\sqrt{b}} \text{ mit } b \neq 0\) Beispiel \(\sqrt{75} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = 5 \cdot \sqrt{3}\) \(\sqrt \frac {21} {64} = \frac {\sqrt {21}} {8}\) \(\sqrt \frac {100} {7} = \frac{10} {\sqrt{7}}\)
	\(n\)-te Wurzel Die \(n\)-te Wurzel einer nichtnegativen reellen Zahl \(a\) mit \(n \in \mathbb{N}\) \(\sqrt[n]{a}\) ist die Lösung der Gleichung \(x^n = a\) Es gilt: \(\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\) und \(\sqrt{a^2} = \|a\|\). Beispiel \(\sqrt[5]{32} = 2\) \(2^5 = 32\)
	Potenzen mit rationalen Exponenten Für \(a\) nichtnegativ und \(n \in \mathbb{N}\) gilt: \(a^{\frac 1 n} = \sqrt[n]{a}\) Für \(m \in \mathbb{Z}\) und \(a>0\) gilt: \(a^{\frac m n} = \sqrt[n]{a}^m\)
	Potenzen mit negativen Exponenten Für \(a \neq 0\) und \(n \in \mathbb{N}\) gilt: \(a^{-n} = \frac 1 {a^n}\) Für \(m \in \mathbb{Z}\) und \(a>0\) gilt: \(a^{-\frac m n} = \frac 1 {\sqrt[n]{a}^m}\)
	Wurzelgesetze Wurzelgesetze sind Potenzgesetze mit rationalem Exponenten! Für \(n, m \in \mathbb{N}\) gilt: \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}\) \(\frac{\sqrt[n]{a}} {\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac a b}\) \((\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\) \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a} \text{ für } a \geq 0, b \geq 0\) Beispiel \(\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{8} = 3 \cdot 2 = 6 = \sqrt[3]{27 \cdot 8} = \sqrt[3]{216} = 216\) \(\frac{\sqrt{36}} {\sqrt{4}} = \frac 6 2 = 3 = \sqrt{\frac {36} 4} = \sqrt{9} = 3\) \((\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8 = \sqrt[4]{16^3} = \sqrt[4]{4096} = 8\) \(\sqrt[3]{\sqrt[2]{64}} = \sqrt[3]{8} = 2 = \sqrt[3 \cdot 2]{64} = \sqrt[6]{64} = 2\)
	Stichworte Potenz, Potenzgesetze, Basis, Exponent, Wurzel, Quadratwurzel, Wurzelgesetze, Exponent

	Quadratische Funktion (Quadratische Gleichung, Polynom 2.Grades)
	Quadratische Funktion Eine Funktion \(f\) mit dem Term \(f(x) = ax^2 + bx + c\) und \(a \neq 0\) heißt quadratische Funktion. Ein Spezialfall ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = x^2\). Ihr Graph heißt Normalparabel. Eigenschaften: Der Graph ist symmetrisch zur \(y\)-Achse. Der Koordinatenursprung ist Scheitelpunkt des Graphen. Der Graph fällt im 2.Quadranten und steigt im 1. Quadranten. Beispiel
	Normalform: \(f(x) = x^2 + px + q\)
	Scheitelpunktform: \(f(x) =a(x+d)^2+e\) mit dem Scheitelpunkt \(S(-d\|e)\) Die Scheitelpunktform erhält man aus der Normalform mit \(d = \frac p 2\) und \(e = q - (\frac p 2)^2\). Beispiel \(f(x) =0.5(x+4)^2+3\) Scheitelpunkt: \(S(-4\|3)\)
	Verschieben der Parabel nach oben/unten \(f(x) = x^2+e\) \(e \gt 0\): Verschiebung nach oben \(e \lt 0\): Verschiebung nach unten Beispiel
	Verschieben der Parabel nach rechts/links \(f(x) = (x+d)^2\) \(d \gt 0\): Verschiebung nach links \(d \lt 0\): Verschiebung nach rechts Achtung beim Vorzeichen! Beispiel
	Strecken und Stauchen der Parabel \(f(x) = ax^2\) \(a \gt 1\): Streckung der Parabel \(0 \lt a \lt 1\): Stauchung der Parabel Beispiel
	Spiegeln der Parabel an der x-Achse \(f(x) = -x^2\) Beispiel
	Linearfaktorzerlegung Hat \(f\) mindestens eine Nullstelle, so kann man aus der Darstellung der Funktion als Linearfaktorzerlegung \(f(x)=a(x-m)(x-n)\) die Nullstellen \(m\) und \(n\) ablesen.
	Lösen quadratischer Gleichungen (Nullstellenbestimmung) Die quadratische Gleichung in der Normalform \(x^2 + px + q = 0\) hat die Nullstellen: \(x_{1,2} = -\frac p 2 \pm \sqrt{(\frac p 2 )^2 -q}\) Es gilt: \((\frac p 2 )^2 -q \lt 0\): keine Nullstelle \((\frac p 2 )^2 -q = 0\): eine doppelte Nullstelle \((\frac p 2 )^2 -q \gt 0\): zwei Nullstellen Quadratische Gleichungen der Form \(ax^2+bx=0\) löst man durch Faktorisieren: \(x(ax+b)=0\). Beispiel \(x^2 - 2x -15 = 0\) \(x_{1,2} = -\frac {-2} 2 \pm \sqrt{(\frac {-2} 2)^2 -(-15)}\) Nullstellen: \(x_1 = - 1 + 4 = 5\) und \(x_2 = 1 - 4 = -3\)
	Satz von Vieta Gegeben ist eine quadratische Gleichung in der Normalform \(x²+px+q=0\). Wenn \(x_1\) und \(x_2\) Lösungen der Gleichung sind, dann gilt: \(x_1+x_2=-p\) und \(x_1 \cdot x_2=q\).
	Stichworte Quadratische Funktion, Parabel, Normalform, Scheitelpunktform, Scheitelpunkt, Linearfaktorzerlegung, Satz von Vieta

Rechengesetze

Rechenreihenfolge

Ein Term beschreibt einen Rechenweg, der aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern bestehen kann. Ein Term wird in folgender Reihenfolge umgeformt:

1. Berechnung von Ausdrücken innerhalb von Klammern.
2. Potenzrechnung vor Punktrechnung.
3. Punktrechnung vor Strichrechnung.
4. Rechnung von links nach rechts.

Beispiel

\((2^2 + 3) - 5 \cdot (4 - 3) + 3 \cdot (5 - 3^2 + 8)\)

\(= (4 + 3) - 5 \cdot 1 + 3 \cdot (5 - 9 + 8)\)

\(= 7 - 5 + 3 \cdot 4\)

\(= 7 - 5 + 12\)

\(= 14\)

Zwei Terme heißen wertgleich, wenn sich bei beliebigen Einsetzungen für die Variablen übereinstimmende Werte ergeben.

Bei Termumformungen verändert man einen Term mithilfe von Rechengesetzen in einen wertgleichen vereinfachten Term, ohne sein Ergebnis zu ändern. Wertgleiche Terme sind durch ein Gleichheitszeichen verbunden.

	Verknüpfungsgesetze der Addition:	Verknüpfungsgesetze der Multiplikation:
	Kommutativgesetze für alle \(a, b, c \in \mathbb{R}\) gilt: \(a+b=b+a\) Beispiel \(5+3 = 3+5 = 8\) \(5 \cdot 6 = 6 \cdot 5 = 30\)	Kommutativgesetze für alle \(a, b, c \in \mathbb{R}\) gilt: \(a \cdot b = b \cdot a\)
	Gesetze über neutrale Elemente Neutrales Element: \(0\) für alle \(a \in \mathbb{R}\) gilt: \(a + 0 = 0 + a = a\) Beispiel \(16 + 0 = 0 + 16 = 16\) \(7 \cdot 1 = 1 \cdot 7 = 7\)	Gesetze über neutrale Elemente Neutrales Element: \(1\) für alle \(a \in \mathbb{R}\) gilt: \(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a\)
	Gesetze über inverse Elemente Neutrales Element: \(-a\) für alle \(a \in \mathbb{R}\) gilt: \(a + (-a) = (-a) + a = 0\) Beispiel \(11 + (-11) = (-11) + 11 = 0\) \(3 \cdot \frac 1 3 = \frac 1 3 \cdot 3 = 1\)	Gesetze über inverse Elemente Neutrales Element: \(\frac 1 a\) für alle \(a \in \mathbb{R}\text{ \ }{0}\) gilt: \(a \cdot \frac 1 a = \frac 1 a \cdot a = 1\)
	Assoziativgesetze für alle \(a, b, c \in \mathbb{R}\) gilt: \((a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c\) Beispiel \((2+3)+4=2+(3+4)=2+3+4= 9\) \((2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\)	Assoziativgesetze für alle \(a, b, c \in \mathbb{R}\) gilt: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c\)
	Distributivgesetze für alle \(a, b, c \in \mathbb{R}\) gilt: \((a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) \(a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c\) Beispiel \((3 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 27\) \(6 \cdot (5 - 4) = 6 \cdot 5 - 6 \cdot 4 = 6\)
	Relationsgesetze der Addition:	Relationsgesetze der Multiplikation:
	Gleichheitsgesetze für alle \(a, b, c \in \mathbb{R}\) gilt: \(a = b \Leftrightarrow a + c = b + c\)	Gleichheitsgesetze für alle \(a, b, c \in \mathbb{R} \text{ \ } 0\) gilt: \(a = b \Leftrightarrow a \cdot c = b \cdot c\)
	Monotoniegesetze für alle \(a, b, c \in \mathbb{R}\) gilt: \(a \lt b \Leftrightarrow a + c \lt b + c\) Beispiel \(5 \lt 3 \Leftrightarrow 5 + 2 \lt 3 + 2 \Leftrightarrow 7 \lt 5\) \(5 \lt 3 \Leftrightarrow 5 \cdot 2 \lt 3 \cdot 2 \Leftrightarrow 10 \lt 6\)	Monotoniegesetze für alle \(a, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}^+\) gilt: \(a \lt b \Leftrightarrow a \cdot c \lt b \cdot c\)
	Inversionsgesetz für alle \(a, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}^-\) gilt: \(a \lt b \Leftrightarrow a \cdot c \gt b \cdot c\) Beispiel \(6 \lt 8 \) \(\Leftrightarrow 6 \cdot (-3) \gt 8 \cdot (-3) \) \(\Leftrightarrow -18 \gt -24\)	Inversiongesetz für alle \(a, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}^-\) gilt: \(a \lt b \Leftrightarrow a \cdot c \gt b \cdot c\)
	Stichworte Rechengesetze, Rechenreihenfolge, Term, wertgleich, Termumformung, Verknüpfungsgesetz, Kommutativgesetz, neutrales Element, inverses Element, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, Relationsgesetz, Gleichheitsgesetz, Monotoniegesetz, Inversionsgesetz

Volumen und Oberflächeninhalt

Das Volumen \(V\) eines Körpers beschreibt seine räumliche Ausdehnung.
Der Oberflächeninhalt \(O\) eines Körpers ist die Summe der Flächeninhalte aller Grund- und Seitenflächen.
Das Schrägbild eines Körpers zeigt den Körper perspektivisch dargestellt mit verkürzten Tiefenstrecken.
Das Netz eines Körpers zeigt alle seine Flächen aufgeklappt in wahrer Form und Größe.
Die Mantelfläche \(M\) ist die Summe aller Seitenflächen.

Würfel Ein Würfel ist ein geometrischer Körper, der von sechs Quadraten begrenzt wird.
\(V = a^3\)	\(O = 6 a^2\)
Seitenlänge \(a\)	oder \(O = 6 A\)
Bild
Quader Ein Quader ist ein geometrischer Körper aus paarweise zueinander kongruenten Rechtecken.
\(V = a \cdot b \cdot c\)	\(O = 2 a b\ + 2 a c + 2 b c\)
Seitenlängen \(a\), \(b\) und \(c\)	oder \(O = 2 A_1 + 2 A_2 + 2 A_3\)
Bild
Prisma Ein Prisma wird von zwei zueinander parallelen kongruenten Vielecken und von rechteckigen Seitenflächen begrenzt. Der Abstand der beiden Vielecke voneinander heißt Höhe \(h\) des Prismas.
\(V = G \cdot h\)	\(O= 2 \cdot G+M\)
Grundfläche \(G\), Höhe \(h\), Mantelfläche \(M\)
Bild
Zylinder Ein Zylinder wird von zwei zueinander parallelen kongruenten Kreisen und einer gewölbten Mantelfläche \(M\) begrenzt. Der Abstand der beiden Kreise voneinander heißt Höhe \(h\) des Zylinders.
\(V= \pi r^2 \cdot h\)	\(O = 2 \pi r^2+2\pi r h\)
Höhe \(h\), Radius \(r\) der Grundfläche
Bild
Pyramide Eine Pyramide besitzt ein Vieleck als Grundfläche \(G\) und Dreiecke als Seitenflächen. Der Abstand zwischen der Spitze der Pyramide und der Grundfläche ist die Höhe \(h\) der Pyramide.
\(V = \frac 1 3 \cdot G \cdot h\)	\(O = G + M\)
Höhe \(h\), Grundflächeninhalt \(G\), Mantelflächeninhalt \(M\)
Bild
Kegel Ein Kegel ist ein Körper mit einem Kreis als Grundfläche \(G\). Der Abstand von der Spitze bis zur Grundfläche ist die Höhe des Kegels. Eine Verbindungsstrecke vom Kreisrand zur Spitze heißt Mantellinie. Alle Verbindungslinien bilden die Mantelfläche des Kegels.
\(V = \frac 1 3 \cdot G \cdot h\)	\(O = G + M \) \(= \pi r^2+\pi r s \) \(= \pi r \cdot (r+s)\)
Höhe \(h\), Radius \(r\) der Grundfläche \(G\), Mantelflächeninhalt \(M\)
Bild
Kugel Rotiert ein Kreis im Raum um eine seiner Symmetrieachsen, so entsteht eine Kugel.
\(V= \frac 4 3 \pi r^3\)	\(O = 4 \pi r^2\)
Radius \(r\)
Oktaeder Ein Oktaeder ist ein regelmäßiger Körper, der aus acht gleichseitigen Dreiecken besteht.
\(V = \frac {a^3 \sqrt 2} 3\)	\(O = 2a^2 \sqrt 3\)
Bild
Tetraeder Ein Tetraeder ist ein regelmäßiger Körper, der von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt wird (dreiseitige Pyramide). Bild

Stichworte

Oberflächeninhalt, Schrägbild, Netz, Volumen, Würfel, Quader, Mantelfläche, Prisma, Zylinder, Pyramide, Grundfläche, Kegel, Kugel, Mantellinie, Oktaeder, Tetraeder

	Wahrscheinlichkeit
	Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit \(P\) eines Ereignisses \(A\) ist ein Maß, das angibt, wie sehr das Eintreten dieses Ereignisses \(A\) erwartet wird. Beispiel Wurf einer Münze hat die Ereignisse "Zahl" und "Kopf".
	Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, dessen Ergebnis vom Zufall abhängt. Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird als Ereignismenge bezeichnet. Ein Ereignis ist ein Versuchsausgang, der bei der Durchführung eines Zufallsexperiment eintreten kann. Beispiel Das Zufallsexperiment "Wurf eines Würfels" besitzt die Versuchsergebnisse 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Die Ereignismenge ist {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Weitere Zufallsexperimente: Wurf einer Münze, Lotto-Spiel.
	Relative Häufigkeit Die relative Häufigkeit eines Ereignisses \(A\) bei einem Zufallsexperiment berechnet sich durch \(h(A) = \frac {\text{Anzahl der Versuche, bei denen das Ereignis A eintritt}} {\text{Anzahl aller durchgeführten Versuche}}\) Beispiel Relative Häufigkeit einer geraden Zahl beim Wurf eines Würfels: \(h(\text{"gerade Zahl"}) = \frac 3 6\)
	Gesetz der großen Zahlen Je häufiger man ein Zufallsexperiment durchführt, desto weniger schwanken die relativen Häufigkeiten um einen festen Wert, die Wahrscheinlichkeit \(P\). Die Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse beträgt 1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörige Ergebnisse. Beispiel
	Laplace-Experiment - Laplace-Regel Zufallsexperimente, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, nennt man Laplace-Experimente. Für Laplace-Experimente gilt: Die Wahrscheinlichkeit \(P\) eines Ereignisses \(E\) beträgt: \(P(E) = \frac {\text{Anzahl der zum Ereignis E gehörenden Ergebnisse}} {\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments}}\) Beispiel Beim Werfen einer Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit, Kopf oder Zahl zu werfen, 50%, denn bei diesem Laplace-Experiment würde "Kopf" genauso oft wie "Zahl" fallen, wenn man die Münze unendlich oft werfen würde.
	Komplementärregel Das Gegenereignis \(\bar{E}\) eines Ereignisses \(E\) enthält alle Ereignisse, die nicht zu \(E\) gehören. Es gilt \(P(E) + P(\bar{E}) = 1\). Beispiel Wurf eines Würfels: Ereignis "gerade Zahl": \(P(\text{{2, 4, 6}}) = \frac 3 6\) Gegenereignis "ungerade Zahl": \(P(\text{1, 3, 5}) = \frac 3 6\) P(2, 4, 6) + P(1, 3, 5) = \(\frac 3 6 + \frac 3 6 = 1\)
	Baumdiagramm Um die Wahrscheinleichkeit eines Ereignisses eines Zufallsexperiments zu berechnen, stellen wir das Zufallsexperiment in einem Baumdiagramm dar und schreiben die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an die Pfade. Zu jedem der möglichen Ergebnisse des Zufallexperiments gehört ein Pfad. Pfadmultiplikationsregel: Längs eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Pfadadditionsregel: Gehören zu einem Ereignis mehrere Pfade, dann ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis gehören. Bei einem zweistufigen Zufallsexperimente wird auf der 1.Stufe untersucht, mit welcher Wahrscheinlichkeit die eine bzw. die andere Möglichkeit des zuerst betrachteten Merkmals auftreten wird. Auf der 2.Stufe wird dann dargestellt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Möglichkeiten des anderen Merkmals auftreten. Man schreibt: P("Ereignis der 1.Stufe"\|"Ereignis der 2.Stufe") Beispiel Zweimalige Ziehung aus einer Urne mit 1 roten, 1 grüne und 2 blauen Kugeln: P(1 rote und 1 grüne Kugel}) = P(rot\|grün) + P(grün\|rot) \(= \frac 1 {12} + \frac 1 {12} = \frac 1 6\)
	Vierfeldertafel In Vierfeldertafeln können statistische Daten dargestellt werden, bei denen die zwei Merkmale A und B mit jeweils zwei Möglichkeiten betrachtet werden. Die Vierfeldertafel kann durch zwei zweistufige Zufallsexperimente angegeben werden: Beispiel Personen an einer Schule
	Stichworte Wahrscheinlichkeit, Zufallsexperiment, Ereignis, relative Häufigkeit, Gestz der großen Zahlen, Laplace, Komplementärregel, Gegenereignis, Baumdiagramm, Pfadmultiplikationsregel, Pfadadditionsregel, zweistufig, Vierfeldertafel

Inhalt

Ableitung

Ableitung

Differenzenquotient

Berechnung der Ableitung

Ableitungsregeln

Tangente und Normale

Stichworte

Inhalt

Ähnlichkeit

Maßstab

Ähnlichkeit von Vielecken

Ähnlichkeitssatz für Dreiecke

1.Strahlensatz

2.Strahlensatz

Zentrische Streckung

Stichworte

Inhalt

Bruchrechnung

Brüche

Erweitern/Kürzen

Vergleichen von Brüchen

Rechnen mit Brüchen

Dezimalbrüche

Brüche -> Dezimalbrüche

Runden

Rechnen mit Dezimalbrüchen

Endliche und unendliche Dezimalbrüche

Stichworte

Inhalt

Einheiten

Längen

Gewichte

Zeitpunkte und Zeitspannen

Flächeninhalt

Volumen

Stichworte

Inhalt

Folgen

Folgen

Grenzwert einer Folge

Fibonacci-Zahlenfolge

Stichworte

Inhalt

Grundrechenarten

Addition

Subtraktion

Multiplikation

Division

Stichworte

Inhalt

Kurvendiskussion

Ganzrationale Funktion

Symmetrieeigenschaft

Nullstellen

Monotonie

Extrempunkte

Kurvenverlauf

Wendepunkte

Sattelpunkte

Funktionsübergang

Stetigkeit

Differenzierbarkeit

Stichworte

Inhalt

Lineare Funktion

Lineare Funktion

Nullstelle einer Geraden

Steigung einer Geraden

Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts

Sichworte

Inhalt

Linien

Linien

Strecken

Strahlen

Geraden

Stichworte

Inhalt

NURBS